m={{8,2},{2,5}};m//MatrixForm

Eigensystem[m]

v1=Eigensystem[m][[2]][[1]]

u1=v1/Sqrt[v1.v1]

v2=Eigensystem[m][[2]][[2]]

u2=v2/Sqrt[v2.v2]

m.u1==9 u1

p1=1/5{{4,2},{2,1}};p1//MatrixForm

p2=1/5{{1,-2},{-2,4}};p1//MatrixForm

p1.p1==p1

p1.p1.p1.p1.p1==p1

p2.p2.p2==p2

p1.p2

9^2 p1 + 4^2 p2==m.m

9^2 p1 + 4^2 p2//MatrixForm

m.m//MatrixForm